Il existe un chiffre qui ne compte rien. Pourtant, sans lui, presque rien ne fonctionne.
Ce chiffre, c’est le zéro. Il a mis très longtemps à exister, et il a posé aux mathématiciens des problèmes qu’ils n’ont pas tous réussi à résoudre.
Un trou dans le nombre
Deux cent cinq s’écrit en chiffres : 205. Le zéro n’y indique pas la présence de quelque chose : il indique qu’il n’y a pas de dizaines.
C’est sa première fonction : marquer une place vide. Sans lui, 205 et 25 s’écriraient de la même façon, et l’on ne pourrait plus les distinguer.
L’idée paraît simple. Elle a pourtant manqué à beaucoup de systèmes de comptage. En Mésopotamie, un scribe laissait peut-être un peu plus d’espace, ce qui manquait de netteté. En Chine, on laissait la case vide sur la table à baguettes : le procédé fonctionnait, mais seulement tant que les baguettes restaient en place.1
Pour écrire un nombre sur un support et le transmettre, il fallait un signe.
Le jour où rien est devenu un nombre
Marquer une place vide est une chose ; traiter le zéro comme un nombre avec lequel on peut calculer en est une autre.
En 628, en Asie du Sud, le mathématicien Brahmagupta franchit ce pas. Il écrit des règles : ce que l’on obtient quand on ajoute zéro, quand on le retranche ou quand on l’utilise avec des quantités négatives — comme des dettes.2
Mais il bute sur une question : que se passe-t-il quand on divise par zéro ?
- Brahmagupta (628) affirme que zéro divisé par zéro fait zéro.
- Mahavira (v. 850) affirme qu’un nombre divisé par zéro ne change pas.
- Bhaskara II (1150) propose que le résultat est l’infini.3
Trois mathématiciens, trois réponses, et aucune ne fonctionne. En mathématiques, la division par zéro est tout simplement impossible. Il a fallu plus de mille ans pour l’admettre.
Compter des grains de sable
À l’autre bout du monde savant, on se posait la question inverse : jusqu’où peut-on aller vers le grand ?
Au IIIᵉ siècle avant notre ère, le savant grec Archimède tente de calculer combien de grains de sable il faudrait pour remplir l’univers. Pour y répondre, il invente un système capable de nommer des nombres gigantesques, bien au-delà des mots existant dans sa langue.4
À la même époque, en Asie du Sud, des textes donnent des noms à des nombres immenses. Aucun marchand n’en avait besoin : ces nombres servaient à explorer des idées abstraites, non à compter des sacs de riz.
Noter n’est pas calculer
Pendant des siècles, on n’a pas calculé directement avec les chiffres écrits. Les chiffres servaient à conserver le résultat, tandis que le calcul s’effectuait avec des objets.
- En Méditerranée, on déplaçait des jetons sur un plateau appelé abaque.
- En Chine, on utilisait des baguettes, puis les boules d’un boulier.
- Dans les Andes, les comptables incas manipulaient des jetons sur une table à cases appelée yupana.5
C’est le système venu d’Asie du Sud qui change la donne : avec la valeur de position et le zéro, on peut poser une opération et calculer directement sur le papier.
Vers 825, à Bagdad, le savant al-Khwarizmi détaille ces méthodes de calcul. Son nom a donné le mot algorithme, et le titre d’un de ses livres a donné le mot algèbre. Un siècle plus tard, à Damas, le mathématicien al-Uqlidisi adapte ces techniques au papier et écrit le plus ancien texte connu sur les chiffres après la virgule.6
Un règlement qui ne dit pas pourquoi
Entre 1299 et 1316, à Florence, les statuts de la corporation des changeurs leur interdisent d’inscrire les montants en chiffres indo-arabes dans leurs livres de comptes. Ils pouvaient toujours s’en servir pour calculer.7
On a longtemps affirmé que cette interdiction visait à éviter les fraudes, car un 0 pouvait être modifié en 6 ou en 9. Or, cette explication n’est qu’une hypothèse parmi d’autres : elle n’apparaît pas dans le texte de 1299.8
Le récit est allé bien au-delà
Une version plus forte encore circule largement : le zéro aurait effrayé l’Europe médiévale, on l’aurait associé au Diable ou à la magie noire, et l’Église aurait interdit ces chiffres.9
Un historien a repris ce dossier pièce par pièce. Sa conclusion est sans détour : ce récit est faux ou non étayé à presque tous les niveaux.10
Il a fait mieux que le réfuter : il en a daté la naissance.
Les fondations en ont été posées en 1905, par un universitaire allemand spécialiste des langues romanes. D’autres auteurs ont ensuite brodé. L’historien distingue deux sources : certains éléments viennent d’une lecture injustifiée de sources médiévales réelles, d’autres de l’imagination de certains auteurs modernes.11
Ce point mérite qu’on s’y arrête, car c’est la démarche de cette encyclopédie entière.
Une légende sur le Moyen Âge, née au début du XXᵉ siècle, recopiée pendant plus d’un siècle — et qu’on peut dater, parce que quelqu’un a pris la peine de remonter la chaîne des citations.
Le Moyen Âge n’a pas eu peur du zéro. C’est nous qui avons eu besoin qu’il en ait peur.
L’adoption de ces chiffres n’a pas été freinée par la peur, mais par la force des habitudes. Dès 976, dans le monastère de San Martín de Albelda, en Rioja, le copiste Vigila et ses deux compagnons recopiaient déjà les chiffres indiens, en écrivant qu’il faut reconnaître aux Indiens un génie très subtil, et leur concéder l’avantage en arithmétique et en géométrie.
Mais il y manque quelque chose, et c’est justement le sujet de cette page : le codex ne montre que neuf figures. Le zéro n’y est pas. Le signe des places vides mettra encore des siècles à faire le voyage.12
Calculer avec quoi ?
| Instrument | Région | Principe de fonctionnement |
|---|---|---|
| Abaque à jetons | Bassin méditerranéen | Déplacement de jetons dans des rainures ou des colonnes |
| Baguettes à calcul | Chine | Disposition de tiges en bois ou en os sur une table quadrillée |
| Boulier | Asie de l’Est | Glissement de boules enfilées sur des tiges rigides |
| Yupana | Andes | Plateau à renfoncements pour répartir des pierres ou des graines |
| Calcul posé | Asie du Sud, puis monde | Écriture directe des étapes de l’opération avec les figures numériques |
Note 1
A much more serious problem was the fact that there was no zero to put into an empty position. The numbers sexagesimal numbers 1 and 1,0, namely 1 and 60 in decimals, had exactly the same representation and now there was no way that spacing could help. […] Perhaps the scribe left a little more space than usual between the 6 and the 9 than he would have done had he been representing 6,9. Now if the empty space caused a problem with integers then there was an even bigger problem with Babylonian sexagesimal fractions.
Un problème bien plus sérieux venait du fait qu’il n’y avait pas de zéro à mettre dans une position vide. Les nombres sexagésimaux 1 et 1,0, c’est-à-dire 1 et 60 en décimal, avaient exactement la même écriture, et cette fois l’espacement ne pouvait plus aider. […] Peut-être le scribe a-t-il laissé un peu plus d’espace que d’habitude entre le 6 et le 9 qu’il ne l’aurait fait pour écrire 6,9. Or si l’espace vide posait un problème pour les entiers, il y avait un problème encore plus grand avec les fractions sexagésimales babyloniennes.
O’Connor, John J. et Robertson, Edmund F., « Babylonian Numerals », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, décembre 2000
A counting board consisted of a checker board with rows and columns. Numbers were represented by little rods made from bamboo or ivory. […] Rods moving slightly along the row, or not being placed centrally in the squares, would lead to the incorrect number being represented. […] There was still no need for a zero on the counting board for a square was simply left blank.
Une table à calcul était un damier fait de lignes et de colonnes. Les nombres étaient représentés par de petites baguettes de bambou ou d’ivoire. […] Des baguettes qui glissaient légèrement le long de la ligne, ou qui n’étaient pas placées au centre des cases, faisaient représenter un nombre erroné. […] Il n’y avait toujours pas besoin de zéro sur la table à calcul, car une case était simplement laissée vide.
O’Connor, John J. et Robertson, Edmund F., « Chinese Numerals », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, janvier 2004
Note 2
In particular he wrote Brahmasphutasiddhanta (Correctly Established Doctrine of Brahma), in 628. […] He gave some properties as follows:- When zero is added to a number or subtracted from a number, the number remains unchanged; and a number multiplied by zero becomes zero. He also gives arithmetical rules in terms of fortunes (positive numbers) and debts (negative numbers):-
Il écrivit notamment le Brahmasphutasiddhanta (Doctrine de Brahma correctement établie), en 628. […] Il en donna quelques propriétés : quand on ajoute zéro à un nombre ou qu’on le retranche d’un nombre, le nombre reste inchangé ; et un nombre multiplié par zéro devient zéro. Il donne aussi des règles arithmétiques en termes de fortunes (nombres positifs) et de dettes (nombres négatifs) :
O’Connor, John J. et Robertson, Edmund F., « Brahmagupta », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, novembre 2000
Note 3
In 628 CE, the Indian mathematician and astronomer Brahmagupta claimed that “zero divided by a zero is zero.” At around 850 CE, another Indian mathematician, Mahavira, more explicitly argued that any number divided by zero leaves that number unchanged, so then, for example, 24 ÷ 0 = 24. Later, around 1150, the mathematician Bhaskara gave yet another result for such operations. He argued that a quantity divided by zero becomes an infinite quantity.
En 628 de notre ère, le mathématicien et astronome indien Brahmagupta affirma que « zéro divisé par zéro fait zéro ». Vers 850, un autre mathématicien indien, Mahavira, soutint plus explicitement que tout nombre divisé par zéro reste inchangé, si bien que, par exemple, 24 ÷ 0 = 24. Plus tard, vers 1150, le mathématicien Bhaskara donna encore un autre résultat pour ces opérations. Il soutint qu’une quantité divisée par zéro devient une quantité infinie.
Martinez, Alberto, « Dividing by Nothing », Not Even Past, Department of History, University of Texas at Austin, 12 avril 2011
Note 4
The Sandreckoner is a remarkable work in which Archimedes proposes a number system capable of expressing numbers up to […] He argues in this work that this number is large enough to count the number of grains of sand which could be fitted into the universe. There are also important historical remarks in this work, for Archimedes has to give the dimensions of the universe to be able to count the number of grains of sand which it could contain.
L’Arénaire est une œuvre remarquable dans laquelle Archimède propose un système de numération capable d’exprimer des nombres allant jusqu’à […] Il y soutient que ce nombre est assez grand pour compter les grains de sable que l’on pourrait faire tenir dans l’univers. Cette œuvre contient aussi d’importantes remarques historiques, car Archimède doit donner les dimensions de l’univers pour pouvoir compter les grains de sable qu’il pourrait contenir.
O’Connor, John J. et Robertson, Edmund F., « Archimedes of Syracuse », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, janvier 1999
Note 5
Numerical calculations were done on a variety of yupanas in which piles of tokens, seeds, or pebbles were moved between different compartments of the yupana for the calculation to take place.
Les calculs numériques se faisaient sur diverses yupanas, sur lesquelles des tas de jetons, de graines ou de cailloux étaient déplacés d’un compartiment à l’autre de la yupana pour effectuer le calcul.
Kak, Subhash, « Guáman Poma’s Yupana and Inca Astronomy », Indian Journal of History of Science, vol. 54, n° 4, 2019, p. 398-404
Quipucamayoc with a quipu and an Andean calculation board, called yupana. […] Researchers believe that one of the methods that the Incas had to make accounts was using small stones for more complex mathematical operations by a kind of ‘abacus’, called yupana.
Quipucamayoc avec un quipu et une table de calcul andine, appelée yupana. […] Les chercheurs pensent que l’une des méthodes dont disposaient les Incas pour faire leurs comptes consistait à utiliser de petites pierres pour les opérations mathématiques plus complexes, sur une sorte d’« abaque » appelée yupana.
Museo Chileno de Arte Precolombino, « Does the quipu was analogous to a system of calculation? », exposition Quipu: Counting with knots in the Inka Empire, 2003
Note 6
Algoritmi de numero Indorum in English Al-Khwarizmi on the Hindu Art of Reckoning gave rise to the word algorithm deriving from his name in the title
Algoritmi de numero Indorum (en français, « Al-Khwarizmi sur l’art indien du calcul ») a donné le mot algorithme, tiré de son nom dans le titre
O’Connor, John J. et Robertson, Edmund F., « Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, juillet 1999, en accès libre
His algebra treatise Hisab al-jabr w'al-muqabala gives us the word algebra
Son traité d’algèbre, Hisab al-jabr w’al-muqabala, nous a donné le mot algèbre
O’Connor, John J. et Robertson, Edmund F., « Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, juillet 1999, en accès libre
The dust board allowed this in the same sort of way that one can use a blackboard, chalk and a blackboard eraser. However, al-Uqlidisi showed how to modify the methods for pen and paper use. […] Al-Uqlidisi's work is historically important as it is the earliest known text offering a direct treatment of decimal fractions.
La table à poussière le permettait, un peu comme on peut utiliser un tableau noir, une craie et une brosse. Cependant, al-Uqlidisi a montré comment modifier ces méthodes pour les utiliser avec la plume et le papier. […] L’œuvre d’al-Uqlidisi est historiquement importante, car c’est le plus ancien texte connu à traiter directement des fractions décimales.
O’Connor, John J. et Robertson, Edmund F., « Abu’l Hasan Ahmad ibn Ibrahim Al-Uqlidisi », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, novembre 1999
Note 7
Ainsi, à Florence, entre 1299 et 1316, il est interdit aux changeurs et prêteurs d’argent de la ville d’utiliser des chiffres arabes dans leur comptabilité (Quod nullus de arte scribat in suo libro per abbacum).
Conti, Marco, « Chiffres arabes et logiques administratives : premières notes sur l’utilisation des chiffres arabes dans la documentation fiscale de la commune de Bologne (milieu XIVᵉ-début XVᵉ siècle) », Hypothèses, n° 24, 2023, p. 307-316, en accès libre
Note 8
The reasons behind this prohibition are a matter of speculation. A concern that the Hindu-Arabic numerals, which existed in a variety of forms, might lend themselves to forgery or fraud has been one of the more popular explanations, but other possibilities exist. […] It should be emphasized that no such comment appears in the source text.
Les raisons de cette interdiction relèvent de la spéculation. La crainte que les chiffres indo-arabes, qui existaient sous des formes variées, se prêtent à la falsification ou à la fraude a été l’une des explications les plus populaires, mais d’autres possibilités existent. […] Il faut souligner qu’aucun commentaire de ce genre n’apparaît dans le texte source.
Nothaft, C. Philipp E., « Medieval Europe’s Satanic Ciphers: On the Genesis of a Modern Myth », British Journal for the History of Mathematics, vol. 35, n° 2, 2020, p. 107-136, en accès libre
Note 9
According to one of the core elements of this story, the number or symbol for zero was the cause of much anxiety in medieval Europe, as its unusual properties caused it to be associated with the Devil or with black magic. This anxiety is supposed to have extended to the entire system of Hindu-Arabic numerals, such that the use of these numerals was banned by the Church or by other powerful institutions.
Selon l’un des éléments centraux de ce récit, le nombre ou symbole zéro fut la cause d’une grande inquiétude dans l’Europe médiévale, ses propriétés inhabituelles l’ayant fait associer au Diable ou à la magie noire. Cette inquiétude se serait étendue à tout le système des chiffres indo-arabes, si bien que leur usage aurait été interdit par l’Église ou par d’autres institutions puissantes.
Nothaft, C. Philipp E., « Medieval Europe’s Satanic Ciphers: On the Genesis of a Modern Myth », British Journal for the History of Mathematics, vol. 35, n° 2, 2020, p. 107-136, en accès libre
Note 10
I shall argue that this narrative is false or unsubstantiated at nearly every level of analysis.
Je soutiendrai que ce récit est faux ou non étayé à presque tous les niveaux d’analyse.
Nothaft, C. Philipp E., « Medieval Europe’s Satanic Ciphers: On the Genesis of a Modern Myth », British Journal for the History of Mathematics, vol. 35, n° 2, 2020, p. 107-136, en accès libre
Note 11
The narrative’s main foundations were laid in 1905 by Leo Jordan, a German scholar of Romance languages, whose claims regarding a supposed quarrel between ‘abacists’ and ‘algorists’ in later medieval Europe exerted a strong influence on the modern historiography.
Les principales fondations du récit ont été posées en 1905 par Leo Jordan, universitaire allemand spécialiste des langues romanes, dont les affirmations sur une prétendue querelle entre « abacistes » et « algoristes » dans l’Europe de la fin du Moyen Âge ont fortement influencé l’historiographie moderne.
Nothaft, C. Philipp E., « Medieval Europe’s Satanic Ciphers: On the Genesis of a Modern Myth », British Journal for the History of Mathematics, vol. 35, n° 2, 2020, p. 107-136, en accès libre
Some elements arose from an unwarranted interpretation of medieval sources, while others are based on the unbridled imagination of certain modern authors.
Certains éléments sont nés d’une interprétation injustifiée de sources médiévales, tandis que d’autres reposent sur l’imagination débridée de certains auteurs modernes.
Nothaft, C. Philipp E., « Medieval Europe’s Satanic Ciphers: On the Genesis of a Modern Myth », British Journal for the History of Mathematics, vol. 35, n° 2, 2020, p. 107-136, en accès libre
Note 12
This becomes manifest in nine figures, each of which designate a specific [numeric] position. These are the forms of each position: 987654321. Note that the list of numbers still lacks zero.
Cela se manifeste dans neuf figures, dont chacune désigne une position [numérique] déterminée. Voici les formes de chaque position : 987654321. On notera que la liste des nombres ne comporte pas encore le zéro.
Qandil, Samer Sayed et König, Daniel G., « 984: Some Letters to and by Gerbert d’Aurillac Dealing with “Arabic” Mathematics and Astronomy », Transmediterranean History, vol. 3, n° 1, 2021, p. 1-20
Notes et sources
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Passage En Mésopotamie, un scribe laissait peut-être un peu plus d’espace, ce qui manquait de netteté.
A much more serious problem was the fact that there was no zero to put into an empty position. The numbers sexagesimal numbers 1 and 1,0, namely 1 and 60 in decimals, had exactly the same representation and now there was no way that spacing could help. […] Perhaps the scribe left a little more space than usual between the 6 and the 9 than he would have done had he been representing 6,9. Now if the empty space caused a problem with integers then there was an even bigger problem with Babylonian sexagesimal fractions.
Traduction de la rédaction Un problème bien plus sérieux venait du fait qu’il n’y avait pas de zéro à mettre dans une position vide. Les nombres sexagésimaux 1 et 1,0, c’est-à-dire 1 et 60 en décimal, avaient exactement la même écriture, et cette fois l’espacement ne pouvait plus aider. […] Peut-être le scribe a-t-il laissé un peu plus d’espace que d’habitude entre le 6 et le 9 qu’il ne l’aurait fait pour écrire 6,9. Or si l’espace vide posait un problème pour les entiers, il y avait un problème encore plus grand avec les fractions sexagésimales babyloniennes.
Source O’Connor, John J. et Robertson, Edmund F., « Babylonian Numerals », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, décembre 2000, article « Babylonian numerals » : passage sur l’absence de zéro, puis exemple du carré de 2,27 (tablette AO 17264).
Accès libre ouvrir la source · vérifié le 25 octobre 2026
Passage En Chine, on laissait la case vide sur la table à baguettes : le procédé fonctionnait, mais seulement tant que les baguettes restaient en place.
A counting board consisted of a checker board with rows and columns. Numbers were represented by little rods made from bamboo or ivory. […] Rods moving slightly along the row, or not being placed centrally in the squares, would lead to the incorrect number being represented. […] There was still no need for a zero on the counting board for a square was simply left blank.
Traduction de la rédaction Une table à calcul était un damier fait de lignes et de colonnes. Les nombres étaient représentés par de petites baguettes de bambou ou d’ivoire. […] Des baguettes qui glissaient légèrement le long de la ligne, ou qui n’étaient pas placées au centre des cases, faisaient représenter un nombre erroné. […] Il n’y avait toujours pas besoin de zéro sur la table à calcul, car une case était simplement laissée vide.
Source O’Connor, John J. et Robertson, Edmund F., « Chinese Numerals », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, janvier 2004, article « Chinese numerals », partie sur la table à calcul.
Accès libre ouvrir la source · vérifié le 25 octobre 2026
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Passage En 628 […] Brahmagupta franchit ce pas. Il écrit des règles
In particular he wrote Brahmasphutasiddhanta (Correctly Established Doctrine of Brahma), in 628. […] He gave some properties as follows:- When zero is added to a number or subtracted from a number, the number remains unchanged; and a number multiplied by zero becomes zero. He also gives arithmetical rules in terms of fortunes (positive numbers) and debts (negative numbers):-
Traduction de la rédaction Il écrivit notamment le Brahmasphutasiddhanta (Doctrine de Brahma correctement établie), en 628. […] Il en donna quelques propriétés : quand on ajoute zéro à un nombre ou qu’on le retranche d’un nombre, le nombre reste inchangé ; et un nombre multiplié par zéro devient zéro. Il donne aussi des règles arithmétiques en termes de fortunes (nombres positifs) et de dettes (nombres négatifs) :
Source O’Connor, John J. et Robertson, Edmund F., « Brahmagupta », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, novembre 2000, biographie, paragraphe « Brahmagupta, whose father was Jisnugupta… », puis paragraphe « Brahmagupta’s understanding of the number systems… ».
Accès libre ouvrir la source · vérifié le 27 octobre 2026
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Passage Brahmagupta (628) affirme que zéro divisé par zéro fait zéro. Mahavira (v. 850) […] Bhaskara II (1150) propose que le résultat est l’infini.
In 628 CE, the Indian mathematician and astronomer Brahmagupta claimed that “zero divided by a zero is zero.” At around 850 CE, another Indian mathematician, Mahavira, more explicitly argued that any number divided by zero leaves that number unchanged, so then, for example, 24 ÷ 0 = 24. Later, around 1150, the mathematician Bhaskara gave yet another result for such operations. He argued that a quantity divided by zero becomes an infinite quantity.
Traduction de la rédaction En 628 de notre ère, le mathématicien et astronome indien Brahmagupta affirma que « zéro divisé par zéro fait zéro ». Vers 850, un autre mathématicien indien, Mahavira, soutint plus explicitement que tout nombre divisé par zéro reste inchangé, si bien que, par exemple, 24 ÷ 0 = 24. Plus tard, vers 1150, le mathématicien Bhaskara donna encore un autre résultat pour ces opérations. Il soutint qu’une quantité divisée par zéro devient une quantité infinie.
Source Martinez, Alberto, « Dividing by Nothing », Not Even Past, Department of History, University of Texas at Austin, 12 avril 2011, 2ᵉ paragraphe.
Accès libre ouvrir la source · vérifié le 27 octobre 2026
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Passage le savant grec Archimède tente de calculer combien de grains de sable il faudrait pour remplir l’univers
The Sandreckoner is a remarkable work in which Archimedes proposes a number system capable of expressing numbers up to […] He argues in this work that this number is large enough to count the number of grains of sand which could be fitted into the universe. There are also important historical remarks in this work, for Archimedes has to give the dimensions of the universe to be able to count the number of grains of sand which it could contain.
Traduction de la rédaction L’Arénaire est une œuvre remarquable dans laquelle Archimède propose un système de numération capable d’exprimer des nombres allant jusqu’à […] Il y soutient que ce nombre est assez grand pour compter les grains de sable que l’on pourrait faire tenir dans l’univers. Cette œuvre contient aussi d’importantes remarques historiques, car Archimède doit donner les dimensions de l’univers pour pouvoir compter les grains de sable qu’il pourrait contenir.
Source O’Connor, John J. et Robertson, Edmund F., « Archimedes of Syracuse », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, janvier 1999, biographie MacTutor, paragraphe sur The Sandreckoner.
Accès libre ouvrir la source · vérifié le 25 octobre 2026
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Passage manipulaient des jetons sur une table à cases appelée yupana
Numerical calculations were done on a variety of yupanas in which piles of tokens, seeds, or pebbles were moved between different compartments of the yupana for the calculation to take place.
Traduction de la rédaction Les calculs numériques se faisaient sur diverses yupanas, sur lesquelles des tas de jetons, de graines ou de cailloux étaient déplacés d’un compartiment à l’autre de la yupana pour effectuer le calcul.
Source Kak, Subhash, « Guáman Poma’s Yupana and Inca Astronomy », Indian Journal of History of Science, vol. 54, n° 4, 2019, p. 398-404, p. 399, § 1 (introduction), paragraphe « Numerical information associated with administrative, military, and business uses… ».
Accès libre ouvrir la source · vérifié le 27 octobre 2026
Passage les comptables incas
Quipucamayoc with a quipu and an Andean calculation board, called yupana. […] Researchers believe that one of the methods that the Incas had to make accounts was using small stones for more complex mathematical operations by a kind of ‘abacus’, called yupana.
Traduction de la rédaction Quipucamayoc avec un quipu et une table de calcul andine, appelée yupana. […] Les chercheurs pensent que l’une des méthodes dont disposaient les Incas pour faire leurs comptes consistait à utiliser de petites pierres pour les opérations mathématiques plus complexes, sur une sorte d’« abaque » appelée yupana.
Source Museo Chileno de Arte Precolombino, « Does the quipu was analogous to a system of calculation? », exposition Quipu: Counting with knots in the Inka Empire, 2003, page « Does the quipu was analogous to a system of calculation? », légende de l’illustration (dessin de Guamán Poma de Ayala, 1615) puis paragraphe principal.
Accès libre ouvrir la source · vérifié le 27 octobre 2026
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Passage Son nom a donné le mot algorithme, et le titre d’un de ses livres a donné le mot algèbre.
Algoritmi de numero Indorum in English Al-Khwarizmi on the Hindu Art of Reckoning gave rise to the word algorithm deriving from his name in the title
Traduction de la rédaction Algoritmi de numero Indorum (en français, « Al-Khwarizmi sur l’art indien du calcul ») a donné le mot algorithme, tiré de son nom dans le titre
Source O’Connor, John J. et Robertson, Edmund F., « Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, juillet 1999, en accès libre, biographie, paragraphe sur le traité d’arithmétique.
Accès libre ouvrir la source · vérifié le 24 octobre 2026
Passage Son nom a donné le mot algorithme, et le titre d’un de ses livres a donné le mot algèbre.
His algebra treatise Hisab al-jabr w'al-muqabala gives us the word algebra
Traduction de la rédaction Son traité d’algèbre, Hisab al-jabr w’al-muqabala, nous a donné le mot algèbre
Source O’Connor, John J. et Robertson, Edmund F., « Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, juillet 1999, en accès libre, résumé en tête de la biographie.
Accès libre ouvrir la source · vérifié le 24 octobre 2026
Passage le mathématicien al-Uqlidisi adapte ces techniques au papier et écrit le plus ancien texte connu sur les chiffres après la virgule
The dust board allowed this in the same sort of way that one can use a blackboard, chalk and a blackboard eraser. However, al-Uqlidisi showed how to modify the methods for pen and paper use. […] Al-Uqlidisi's work is historically important as it is the earliest known text offering a direct treatment of decimal fractions.
Traduction de la rédaction La table à poussière le permettait, un peu comme on peut utiliser un tableau noir, une craie et une brosse. Cependant, al-Uqlidisi a montré comment modifier ces méthodes pour les utiliser avec la plume et le papier. […] L’œuvre d’al-Uqlidisi est historiquement importante, car c’est le plus ancien texte connu à traiter directement des fractions décimales.
Source O’Connor, John J. et Robertson, Edmund F., « Abu’l Hasan Ahmad ibn Ibrahim Al-Uqlidisi », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, novembre 1999, section « Biography », 6e et 7e paragraphes (7e et 8e si l’on compte la citation en retrait).
Accès libre ouvrir la source · vérifié le 9 septembre 2026
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Passage Entre 1299 et 1316, à Florence, les statuts de la corporation des changeurs leur interdisent d’inscrire les montants en chiffres indo-arabes
Ainsi, à Florence, entre 1299 et 1316, il est interdit aux changeurs et prêteurs d’argent de la ville d’utiliser des chiffres arabes dans leur comptabilité (Quod nullus de arte scribat in suo libro per abbacum).
Source Conti, Marco, « Chiffres arabes et logiques administratives : premières notes sur l’utilisation des chiffres arabes dans la documentation fiscale de la commune de Bologne (milieu XIVᵉ-début XVᵉ siècle) », Hypothèses, n° 24, 2023, p. 307-316, en accès libre, p. 308 et note 6 (renvoi aux Statuti dell’Arte del cambio di Firenze, éd. G. Camerani Marri, 1955, p. 166).
Accès libre ouvrir la source · vérifié le 24 octobre 2026
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Passage cette explication n’est qu’une hypothèse parmi d’autres : elle n’apparaît pas dans le texte de 1299
The reasons behind this prohibition are a matter of speculation. A concern that the Hindu-Arabic numerals, which existed in a variety of forms, might lend themselves to forgery or fraud has been one of the more popular explanations, but other possibilities exist. […] It should be emphasized that no such comment appears in the source text.
Traduction de la rédaction Les raisons de cette interdiction relèvent de la spéculation. La crainte que les chiffres indo-arabes, qui existaient sous des formes variées, se prêtent à la falsification ou à la fraude a été l’une des explications les plus populaires, mais d’autres possibilités existent. […] Il faut souligner qu’aucun commentaire de ce genre n’apparaît dans le texte source.
Source Nothaft, C. Philipp E., « Medieval Europe’s Satanic Ciphers: On the Genesis of a Modern Myth », British Journal for the History of Mathematics, vol. 35, n° 2, 2020, p. 107-136, en accès libre, section 1, p. 16 du manuscrit accepté (ORA), texte et note 22.
Accès libre ouvrir la source · vérifié le 24 octobre 2026
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Passage le zéro aurait effrayé l’Europe médiévale, on l’aurait associé au Diable ou à la magie noire, et l’Église aurait interdit ces chiffres
According to one of the core elements of this story, the number or symbol for zero was the cause of much anxiety in medieval Europe, as its unusual properties caused it to be associated with the Devil or with black magic. This anxiety is supposed to have extended to the entire system of Hindu-Arabic numerals, such that the use of these numerals was banned by the Church or by other powerful institutions.
Traduction de la rédaction Selon l’un des éléments centraux de ce récit, le nombre ou symbole zéro fut la cause d’une grande inquiétude dans l’Europe médiévale, ses propriétés inhabituelles l’ayant fait associer au Diable ou à la magie noire. Cette inquiétude se serait étendue à tout le système des chiffres indo-arabes, si bien que leur usage aurait été interdit par l’Église ou par d’autres institutions puissantes.
Source Nothaft, C. Philipp E., « Medieval Europe’s Satanic Ciphers: On the Genesis of a Modern Myth », British Journal for the History of Mathematics, vol. 35, n° 2, 2020, p. 107-136, en accès libre, résumé (page ORA).
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Passage ce récit est faux ou non étayé à presque tous les niveaux
I shall argue that this narrative is false or unsubstantiated at nearly every level of analysis.
Traduction de la rédaction Je soutiendrai que ce récit est faux ou non étayé à presque tous les niveaux d’analyse.
Source Nothaft, C. Philipp E., « Medieval Europe’s Satanic Ciphers: On the Genesis of a Modern Myth », British Journal for the History of Mathematics, vol. 35, n° 2, 2020, p. 107-136, en accès libre, résumé (page ORA).
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Passage Les fondations en ont été posées en 1905, par un universitaire allemand spécialiste des langues romanes.
The narrative’s main foundations were laid in 1905 by Leo Jordan, a German scholar of Romance languages, whose claims regarding a supposed quarrel between ‘abacists’ and ‘algorists’ in later medieval Europe exerted a strong influence on the modern historiography.
Traduction de la rédaction Les principales fondations du récit ont été posées en 1905 par Leo Jordan, universitaire allemand spécialiste des langues romanes, dont les affirmations sur une prétendue querelle entre « abacistes » et « algoristes » dans l’Europe de la fin du Moyen Âge ont fortement influencé l’historiographie moderne.
Source Nothaft, C. Philipp E., « Medieval Europe’s Satanic Ciphers: On the Genesis of a Modern Myth », British Journal for the History of Mathematics, vol. 35, n° 2, 2020, p. 107-136, en accès libre, résumé du manuscrit accepté (ORA), p. 1.
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Passage certains éléments viennent d’une lecture injustifiée de sources médiévales réelles, d’autres de l’imagination de certains auteurs modernes
Some elements arose from an unwarranted interpretation of medieval sources, while others are based on the unbridled imagination of certain modern authors.
Traduction de la rédaction Certains éléments sont nés d’une interprétation injustifiée de sources médiévales, tandis que d’autres reposent sur l’imagination débridée de certains auteurs modernes.
Source Nothaft, C. Philipp E., « Medieval Europe’s Satanic Ciphers: On the Genesis of a Modern Myth », British Journal for the History of Mathematics, vol. 35, n° 2, 2020, p. 107-136, en accès libre, résumé (page ORA).
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Passage le codex ne montre que neuf figures. Le zéro n’y est pas.
This becomes manifest in nine figures, each of which designate a specific [numeric] position. These are the forms of each position: 987654321. Note that the list of numbers still lacks zero.
Traduction de la rédaction Cela se manifeste dans neuf figures, dont chacune désigne une position [numérique] déterminée. Voici les formes de chaque position : 987654321. On notera que la liste des nombres ne comporte pas encore le zéro.
Source Qandil, Samer Sayed et König, Daniel G., « 984: Some Letters to and by Gerbert d’Aurillac Dealing with “Arabic” Mathematics and Astronomy », Transmediterranean History, vol. 3, n° 1, 2021, p. 1-20, p. 10, note 58 (sur la figure 1 : Codex Vigilanus, Escurial, ms. D.I.2, fol. 12v).
Accès libre ouvrir la source · vérifié le 27 octobre 2026
Références bibliographiques
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- Codex conciliorum Albeldensis seu Vigilanus, copié en 976 au monastère de San Martín de Albelda par Vigila, Sarracino et García, Bibliothèque de l’Escurial, ms. D.I.2, en accès libre (la plus ancienne figuration des chiffres indo-arabes dans un manuscrit latin : neuf figures, sans le zéro). Voir Kunitzsch, Paul, « The Transmission of Hindu-Arabic Numerals Reconsidered », dans Hogendijk, Jan P. et Sabra, Abdelhamid I. (dir.), The Enterprise of Science in Islam, MIT Press, 2003, p. 3-21, en bibliothèque.
- Conti, Marco, « Chiffres arabes et logiques administratives : premières notes sur l’utilisation des chiffres arabes dans la documentation fiscale de la commune de Bologne (milieu XIVᵉ-début XVᵉ siècle) », Hypothèses, n° 24, 2023, p. 307-316, en accès libre (l’interdiction faite aux changeurs et prêteurs de Florence, entre 1299 et 1316, d’utiliser les chiffres arabes dans leur comptabilité). https://doi.org/10.3917/hyp.201.0307
- Kak, Subhash, « Guáman Poma’s Yupana and Inca Astronomy », Indian Journal of History of Science, vol. 54, n° 4, 2019, p. 398-404, en accès libre (la yupana, table de calcul à compartiments où l’on déplaçait jetons, graines ou cailloux). https://cahc.jainuniversity.ac.in/assets/ijhs/Vol54_4_2019__Art01.pdf
- Martinez, Alberto, « Dividing by Nothing », Not Even Past, Department of History, University of Texas at Austin, 12 avril 2011, en accès libre (les trois réponses indiennes à la division par zéro : Brahmagupta en 628, Mahavira vers 850, Bhaskara vers 1150). https://notevenpast.org/dividing-nothing/
- Museo Chileno de Arte Precolombino, « Does the quipu was analogous to a system of calculation? », exposition Quipu: Counting with knots in the Inka Empire, 2003, en accès libre (le quipucamayoc avec son quipu et sa table de calcul, la yupana ; les comptes incas faits avec de petites pierres). https://precolombino.cl/wp/en/?p=35544
- Nothaft, C. Philipp E., « Medieval Europe’s Satanic Ciphers: On the Genesis of a Modern Myth », British Journal for the History of Mathematics, vol. 35, n° 2, 2020, p. 107-136, en accès libre (le récit du zéro associé au Diable et interdit par l’Église, jugé faux ou non étayé à presque tous les niveaux ; les fondations posées en 1905 par Leo Jordan, romaniste allemand ; la distinction entre lecture injustifiée de sources médiévales et invention d’auteurs modernes ; les motifs de l’interdiction florentine de 1299, objet de simples hypothèses). https://ora.ox.ac.uk/objects/uuid:71f4c8ca-2b6a-4393-94dc-8d81096985bc
- O’Connor, John J. et Robertson, Edmund F., « Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, juillet 1999, en accès libre (le mot « algorithme » tiré de son nom, par le titre latin Algoritmi de numero Indorum ; le mot « algèbre » tiré du titre de son traité d’algèbre ; le titre arabe du traité d’arithmétique inconnu). https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Khwarizmi/
- O’Connor, John J. et Robertson, Edmund F., « Babylonian Numerals », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, décembre 2000, en accès libre (l’absence de zéro pour marquer une place vide ; le scribe qui laisse un peu plus d’espace, et l’ambiguïté qui en résulte). https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_numerals/
- O’Connor, John J. et Robertson, Edmund F., « Brahmagupta », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, novembre 2000, en accès libre (le Brahmasphutasiddhanta écrit en 628 ; zéro défini comme le résultat d’un nombre soustrait de lui-même ; règles de calcul avec zéro, les « fortunes » et les « dettes »). https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Brahmagupta/
- O’Connor, John J. et Robertson, Edmund F., « Chinese Numerals », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, janvier 2004, en accès libre (la table à calcul et ses baguettes : une case simplement laissée vide à la place du zéro ; les erreurs dès que les baguettes se déplacent). https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Chinese_numerals/
- O’Connor, John J. et Robertson, Edmund F., « Archimedes of Syracuse », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, janvier 1999, en accès libre (L’Arénaire ou Psammite, dédié à Gélon : un système de numération capable d’exprimer d’immenses nombres, assez grand pour compter les grains de sable que l’univers pourrait contenir). https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/
- O’Connor, John J. et Robertson, Edmund F., « Abu’l Hasan Ahmad ibn Ibrahim Al-Uqlidisi », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, novembre 1999, en accès libre (les méthodes de calcul adaptées au papier ; le plus ancien texte connu traitant des fractions décimales). https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Uqlidisi/
- Plofker, Kim, Mathematics in India, Princeton University Press, 2009, en bibliothèque (Brahmagupta, Mahavira, Bhaskara II, et leurs trois réponses différentes sur la division par zéro).
- Qandil, Samer Sayed et König, Daniel G., « 984: Some Letters to and by Gerbert d’Aurillac Dealing with “Arabic” Mathematics and Astronomy », Transmediterranean History, vol. 3, n° 1, 2021, p. 1-20, en accès libre (le folio 12v du Codex Vigilanus, sa transcription et sa traduction : neuf figures, sans le zéro). https://doi.org/10.18148/tmh/2021.3.1.63
- Saidan, Ahmad S., « The Earliest Extant Arabic Arithmetic: Kitab al-Fusul fi al-Hisab al-Hindi of Abu al-Hasan Ahmad ibn Ibrahim al-Uqlidisi », Isis, vol. 57, n° 4, 1966, p. 475-490, accès payant. https://doi.org/10.1086/350163
- Tun, Molly, « Yupana », dans Selin, Helaine (dir.), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Springer, 2016, en bibliothèque (le plateau de calcul andin).
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