Il faut tracer un angle droit dans un champ, sans équerre.
Comment faire ? La réponse existe depuis très longtemps, elle tient dans une corde, et c’est là que commence la géométrie.
Mesurer la terre
Le mot le dit : géométrie signifie mesure de la terre.
Ce n’est pas une science née dans l’esprit de savants oisifs. Elle naît d’un problème très concret : après une crue, les limites des champs ont disparu sous la boue. Il faut les retracer. Qui possède quoi ? Où passe la bordure ?
Pour cela, il faut savoir tracer droit, faire un angle droit, calculer une surface.
L’outil le plus simple est une corde portant des nœuds régulièrement espacés. Tendue à trois personnes en formant un triangle dont les côtés font trois, quatre et cinq intervalles, elle donne un angle droit parfait. Ni calcul ni instrument : une corde et trois paires de mains. Le procédé se refait sans peine dans une cour de récréation.
Deux précautions, cependant, sur ce récit séduisant :
- Une théorie tardive : l’idée que la géométrie serait née des crues du Nil ne vient pas des Égyptiens. C’est l’explication donnée par un voyageur grec, Hérodote, bien après les faits.
- L’absence de preuves matérielles : on lit partout que les arpenteurs égyptiens utilisaient cette corde à trois, quatre et cinq. Les arpenteurs existent, on les voit au travail sur des peintures de tombes, leurs cordes à nœuds existent, et leurs angles droits sont très précis. Mais aucun papyrus, aucune inscription, aucun objet ne montre le triangle trois-quatre-cinq. Cette histoire-là est une conjecture, avancée en 1880 par l’historien des mathématiques allemand Moritz Cantor, et elle se recopie depuis comme si c’était un fait établi.1
La même règle, quatre fois
Soit le triangle de la corde : trois, quatre, cinq. Si l’on construit un carré sur chaque côté, le grand carré a exactement la surface des deux petits réunis. Ce n’est pas un hasard, et c’est vrai pour tous les triangles rectangles.
Cette règle est appelée en France le théorème de Pythagore. Elle apparaît successivement :
- Mésopotamie : il y a près de quatre mille ans, des scribes l’utilisent. Une tablette d’argile conservée à New York, couverte de nombres, aligne quinze exemples — dont un triangle aux côtés de 12 709, 13 500 et 18 541. De tels nombres ne se trouvent pas à tâtons : les scribes savaient les fabriquer. Ils n’appellent pas cela un théorème, mais la règle de la diagonale.2
Une réserve importante, cependant. On a longtemps voulu voir dans cette tablette une table de trigonométrie, ou l’application d’une formule savante. L’historienne qui l’a réexaminée montre que ces deux lectures ne tiennent pas : la première parce que la notion d’angle telle que nous l’employons n’existait pas à cette époque. Les nombres viennent d’une technique bien attestée par ailleurs — les paires de nombres inverses —, et la tablette ressemble à un support d’enseignement.3
Ils maîtrisaient la règle. Ils ne faisaient pas ce que nous aurions fait avec.
Une mise en garde qui vaut pour tout ce site
Le titre de cet article de réexamen mérite d’être connu : « Ni Sherlock Holmes ni Babylone ».
Son idée tient en une phrase. Un objet mathématique ancien doit être lu dans le contexte de son époque, et non traité comme une énigme autonome qu’on résoudrait à la manière d’un roman policier.4
Car c’est exactement la tentation : voir une tablette couverte de nombres, y chercher le procédé le plus ingénieux qu’on puisse imaginer, et conclure que ses auteurs l’avaient trouvé. On leur prête alors nos questions, et l’on s’émerveille de leurs réponses — qui sont les nôtres.
Lire le passé, ce n’est pas y chercher ce qu’on saurait faire aujourd’hui.
- Asie du Sud : vers l’an -800, des textes en sanskrit expliquent comment bâtir les autels du rituel : transformer un carré en cercle de même surface, agrandir une figure sans la déformer. L’un d’eux énonce la règle et l’illustre avec six exemples.
- Chine : un livre rassemble des centaines de problèmes et la façon de les résoudre : voici un champ, voici comment trouver son aire ; voici un mur, voici combien de terre il contient.
- Grèce : vers l’an -300, Euclide fait quelque chose que personne n’avait fait avant : il démontre. Au lieu de vérifier sur des exemples, il établit que l’énoncé est vrai pour tous les cas possibles, sans exception, en enchaînant des raisonnements.
Démontrer, et démontrer autrement
Il faut ici se méfier d’une phrase qu’on lit souvent : les Grecs auraient inventé la preuve, et les autres n’auraient eu que des recettes.
C’est faux, et on le sait depuis longtemps. En 263 de notre ère, un mathématicien chinois nommé Liu Hui écrit un commentaire du grand livre de problèmes. Il n’y ajoute pas des exercices : il y établit, un par un, pourquoi les procédés du livre donnent le bon résultat. Il démontre la règle du triangle rectangle. Il calcule la surface d’un cercle en y inscrivant des polygones de plus en plus fins, et trouve pour π la valeur 3,141024 (avec un polygone à 96 côtés), qu’il arrondit ensuite à 3,14. Aucun exemplaire ancien du livre ne nous est parvenu sans son commentaire : en Chine, on l’a toujours lu avec ses preuves.5
Ce n’est pas pour autant la même chose que chez Euclide, et c’est là que la comparaison devient intéressante. Euclide démontre qu’une figure a telle propriété. Liu Hui démontre qu’une méthode de calcul est correcte — qu’elle fonctionnera dans tous les cas. Deux façons d’être sûr, pas une bonne et une moins bonne.
Une chercheuse française, Karine Chemla, a défendu cette lecture en travaillant des années sur le texte chinois, et en a publié avec Guo Shuchun une édition de plus de mille pages.6
Le motif, une géométrie qu’on ne calcule pas
Il existe une géométrie qui ne s’écrit pas et ne se démontre pas : celle des motifs.
Les décors géométriques des mondes islamiques, les tissus andins, les paniers tressés, les cotonnades d’Afrique de l’Ouest reposent tous sur des règles de répétition, de rotation et de reflet. Les artisans ne les écrivaient pas. Ils les avaient dans la main et dans l’œil, et les transmettaient par l’exemple.
Des mathématiciens ont voulu compter ces symétries. En 1944, Edith Müller en a relevé douze parmi les décors de l’Alhambra, en Espagne, dans sa thèse de doctorat. On lit souvent qu’il y en aurait dix-sept, c’est-à-dire toutes celles qui existent ; le chiffre est contesté.7
Le mathématicien Branko Grünbaum a soulevé en 2006 une objection plus gênante encore : personne, à l’époque, ne connaissait ces catégories. La classification complète des dix-sept groupes date de 1891, elle est due à Evgraf Fedorov. Chercher les dix-sept dans l’Alhambra, c’est noter des artisans sur un barème qui n’existait pas.8
Paver le plan
Une question simple à poser se révèle très difficile à résoudre : quelles formes peut-on répéter à l’infini pour couvrir une surface, sans trou ni chevauchement ?
Avec des carrés ou des triangles équilatéraux, c’est facile. Avec des pentagones, c’est un vrai problème, et il a résisté cent ans.
En 1975, une mère de famille de San Diego, Marjorie Rice, lit une revue de vulgarisation que son fils reçoit à la maison. L’article explique que la liste des pentagones capables de paver le plan vient d’être complétée. Elle n’a suivi qu’une année de mathématiques au lycée. Elle s’y attelle malgré tout, à la table de la cuisine, avec un système de notation qu’elle invente pour elle-même.9
Entre 1975 et 1977, elle découvre quatre nouveaux types de pentagones que les professionnels avaient manqués.10
Elle envoie ses résultats, écrits dans sa notation maison. Ils arrivent entre les mains de la mathématicienne Doris Schattschneider, spécialiste du sujet, d’abord perplexe devant cette écriture inhabituelle. Elle les examine soigneusement — et elle les valide.
Deux choses valent la peine d’être retenues :
- On peut encore découvrir en géométrie avec un crayon et du papier.
- Une découverte ne devient un savoir que lorsque quelqu’un prend le temps de la vérifier.
La liste s’est complétée peu à peu. Le quinzième et dernier type a été trouvé en 2015 par trois chercheurs, dont Jennifer McLoud-Mann, à l’aide d’un ordinateur. Puis, en 2017, Michaël Rao a fait tourner un programme sur les 371 configurations possibles et démontré qu’il n’y en avait pas d’autre. Le problème est clos. Un autre mathématicien a vérifié son programme.11
À qui appartient le champ ?
Revenons au début. Si la géométrie sert à retracer les limites d’un champ, alors elle sert à dire qui possède la terre.
Qui possède la terre paie l’impôt, ou le fait payer. L’arpenteur qui mesure une parcelle ne fait pas seulement un travail technique : il fixe une richesse, une dette, un droit.
La géométrie a été, dès ses débuts, un instrument de propriété autant qu’un jeu de l’esprit.
Quelques façons de poser un problème de géométrie
| Où | Forme du savoir | Exemple de question |
|---|---|---|
| Asie du Sud | Règles de construction | Comment faire un autel de surface donnée ? |
| Chine | Problèmes résolus | Quelle est l’aire de ce champ ? |
| Mésopotamie | Tables de nombres | Quels triangles tombent juste ? |
| Grèce | Démonstration | Est-ce vrai pour tous les triangles ? |
| Chine (Liu Hui) | Preuve d’un procédé | Ce calcul marche-t-il à tous les coups ? |
| Ateliers et métiers | Motifs transmis par la main | Comment répéter sans que cela se voie ? |
Note 1
For this reason Egypt was cut up; and they said that this king distributed the land to all the Egyptians, giving an equal square portion to each man […] and I think that thus the art of geometry was found out and afterwards came into Hellas also.
C’est pour cette raison que l’Égypte fut découpée ; et ils disaient que ce roi distribua la terre à tous les Égyptiens, donnant à chacun une part carrée égale […] et je pense que c’est ainsi que l’art de la géométrie fut découvert, et qu’il passa ensuite aussi en Grèce.
Hérodote, Histoires, livre II, chap. 109, vers 430 av. J.-C., trad. anglaise G. C. Macaulay, The History of Herodotus, Macmillan, 1890, domaine public
But there seems to be no evidence that they knew that the triangle (3, 4, 5) is right-angled; indeed, according to the latest authority (T. Eric Peet, The Rhind Mathematical Papyrus, 1923), nothing in Egyptian mathematics suggests that the Egyptians were acquainted with this or any special cases of the Pythagorean theorem.
Mais il ne semble y avoir aucune preuve qu’ils savaient que le triangle (3, 4, 5) est rectangle ; d’ailleurs, selon l’autorité la plus récente (T. Eric Peet, The Rhind Mathematical Papyrus, 1923), rien dans les mathématiques égyptiennes ne laisse penser que les Égyptiens connaissaient ce cas ou un autre cas particulier du théorème de Pythagore.
Heath, Thomas L., The Thirteen Books of Euclid’s Elements, vol. 1, 2ᵉ éd., Cambridge University Press, 1925, commentaire de la proposition I.47, transcription de David R. Wilkins, Trinity College Dublin, domaine public
Denken wir uns, gegenwärtig allerdings noch ohne jede Begründung, den Aegyptern sei bekannt gewesen, dass die drei Seiten von der Länge 3, 4, 5 zu einem Dreiecke verbunden ein solches mit einem rechten Winkel zwischen den beiden kleineren Seiten bilden, […]
Supposons, pour le moment il est vrai sans aucune justification, que les Égyptiens aient su que trois côtés de longueur 3, 4 et 5, réunis en triangle, forment un triangle ayant un angle droit entre les deux plus petits côtés, […]
Cantor, Moritz, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, vol. 1, Teubner, Leipzig, 1880
Note 2
The name “Plimpton 322” denotes that it is the 322nd item in Mendelsohn’s catalogue of the cuneiform tablets held by the libraries of the University of Columbia, New York. […] Each of the four remaining columns contains a heading in a mixture of Sumerian and Akkadian and 15 rows of numerical data.
Le nom « Plimpton 322 » indique qu’il s’agit du 322e élément du catalogue de Mendelsohn des tablettes cunéiformes conservées par les bibliothèques de l’université Columbia, à New York. […] Chacune des quatre colonnes restantes porte un intitulé mêlant sumérien et akkadien et 15 lignes de données numériques.
Robson, Eleanor, « Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322 », Historia Mathematica, vol. 28, 2001, p. 167-206
Note 3
I show that the popular view of it as some sort of trigonometric table cannot be correct, given what is now known of the concept of angle in the Old Babylonian period.
Je montre que l’idée répandue qui en fait une sorte de table trigonométrique ne peut pas être juste, compte tenu de ce qu’on sait aujourd’hui de la notion d’angle à l’époque paléo-babylonienne.
Robson, Eleanor, « Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322 », Historia Mathematica, vol. 28, 2001, p. 167-206
I recast it using regular reciprocal pairs, Høyrup's analysis of contemporaneous "naïve geometry," and a new reading of the table's headings.
Je la reformule à l’aide des paires de réciproques régulières, de l’analyse par Høyrup de la « géométrie naïve » de la même époque, et d’une nouvelle lecture des en-têtes de la table.
Robson, Eleanor, « Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322 », Historia Mathematica, vol. 28, 2001, p. 167-206
Note 4
Ancient mathematical texts and artefacts, if we are to understand them fully, must be viewed in the light of their mathematico-historical context, and not treated as artificial, self-contained creations in the style of detective stories.
Pour être pleinement compris, les textes et objets mathématiques anciens doivent être vus à la lumière de leur contexte d’histoire des mathématiques, et non traités comme des créations artificielles et closes sur elles-mêmes, à la manière des romans policiers.
Robson, Eleanor, « Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322 », Historia Mathematica, vol. 28, 2001, p. 167-206
Note 5
His fame rests on the commentary he completed in 263 on Jiuzhang suanshu […]. Liu’s commentary on The Nine Chapters proved the correctness of its algorithms.
Sa renommée repose sur le commentaire qu’il acheva en 263 sur le Jiuzhang suanshu […]. Le commentaire de Liu sur les Neuf Chapitres démontrait la justesse de leurs algorithmes.
Chemla, Karine, « Liu Hui », Encyclopædia Britannica, en ligne
the area of an inscribed regular 12-gon equals 3 times the radius times one side of an inscribed regular 6-gon […] cut after cut until no more cut is possible, then it coincides with the circle and there is no leftover
l’aire d’un dodécagone régulier inscrit est égale à 3 fois le rayon multiplié par un côté de l’hexagone régulier inscrit […] découpe après découpe, jusqu’à ce qu’aucune découpe ne soit plus possible, il coïncide alors avec le cercle et il n’y a plus de reste
Siu, Man-Keung, « Proof and Pedagogy in Ancient China: Examples from Liu Hui’s Commentary on Jiu Zhang Suan Shu », Educational Studies in Mathematics, vol. 24, 1993, p. 345-357
Liu Hui obtained the accurate value 3.14 by taking the ratio of the perimeter of a regular polygon of ninety-six sides […] Hence π = 6.282048/2 = 3.141024, or approximately 3.14.
Liu Hui obtint la valeur précise 3,14 en prenant le rapport du périmètre d’un polygone régulier à quatre-vingt-seize côtés […] D’où π = 6,282048/2 = 3,141024, soit environ 3,14.
Ho Peng-Yoke, « Liu Hui », Dictionary of Scientific Biography, Charles Scribner’s Sons, repris dans le Complete Dictionary of Scientific Biography, 2008 (copie sur MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews)
Note 6
Paris (Dunod). 2004. ISBN 2-10-007778-3. XVII+1117 pp. […] One thesis she defends is that some commentaries provide “demonstrations” of the correctness of the algorithms given in the text.
Paris (Dunod). 2004. ISBN 2-10-007778-3. XVII + 1117 p. […] L’une des thèses qu’elle défend est que certains commentaires fournissent des « démonstrations » de la justesse des algorithmes donnés dans le texte.
Horiuchi, Annick, compte rendu de Chemla, Karine et Guo, Shuchun, Les Neuf Chapitres : le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires, SCIAMVS, vol. 7, 2006, p. 213-218
Note 7
The first to investigate it was Edith Müller in her 1944 Ph.D. thesis at the Universität Zürich, written under the guidance of Andreas Speiser.² In her thesis [7] Müller documents the appearance of twelve wallpaper groups among the ornaments of the Alhambra.³
La première à l’étudier fut Edith Müller, dans sa thèse de doctorat soutenue en 1944 à l’université de Zurich sous la direction d’Andreas Speiser.² Dans sa thèse [7], Müller relève la présence de douze groupes de pavage parmi les ornements de l’Alhambra.³
Grünbaum, Branko, « What Symmetry Groups Are Present in the Alhambra? », Notices of the American Mathematical Society, vol. 53, 2006, p. 670-673
Note 8
Groups of symmetry had no relevance to artists and artisans who decorated the Alhambra. […] Naturally, nobody did, since nobody knew about symmetry groups for the next five centuries.
Les groupes de symétrie n’avaient aucune importance pour les artistes et les artisans qui ont décoré l’Alhambra. […] Naturellement, personne ne l’a fait, puisque personne ne connaissait les groupes de symétrie pendant les cinq siècles suivants.
Grünbaum, Branko, « What Symmetry Groups Are Present in the Alhambra? », Notices of the American Mathematical Society, vol. 53, n° 6, 2006, p. 670-673
In 1891, Evgraf Fedorov proved there are precisely 17 plane crystallographic groups: the group of symmetries of any given wallpaper tiling is one of the following in the table:
En 1891, Evgraf Fedorov a démontré qu’il existe exactement 17 groupes cristallographiques du plan : le groupe de symétries de tout pavage de papier peint est l’un de ceux du tableau suivant :
Chavez-Caliz, Ana, « The Palace of Alhambra and the Crystallographic Groups », STRUCTURES Blog, pôle d’excellence STRUCTURES, Université de Heidelberg, 9 janvier 2023
Note 9
But Rice, who took only one year of math in high school, was actually discovering new families of tessellating pentagons
Mais Rice, qui n’avait suivi qu’une année de mathématiques au lycée, découvrait en réalité de nouvelles familles de pentagones qui pavent le plan
Wolchover, Natalie, « Marjorie Rice’s Secret Pentagons », Quanta Magazine, 11 juillet 2017
Note 10
But Rice, who took only one year of math in high school, was actually discovering new families of tessellating pentagons, and never-before-seen patterns, beyond those listed in Gardner's column. […] Using this method, Rice eventually found four new tessellating convex pentagons and nearly 60 different tessellations.
Mais Rice, qui n’avait suivi qu’une année de mathématiques au lycée, découvrait en réalité de nouvelles familles de pentagones pavant le plan, et des motifs jamais vus, au-delà de ceux qu’énumérait la chronique de Gardner. […] Grâce à cette méthode, Rice finit par trouver quatre nouveaux pentagones convexes pavant le plan et près de 60 pavages différents.
Wolchover, Natalie, « Marjorie Rice’s Secret Pentagons », Quanta Magazine, 11 juillet 2017
Note 11
Previous to this article, there were 14 known distinct kinds of convex pentagons that admit tilings of the plane. […] We will present the methods of this algorithm and the results of the computer searches so far, which includes a complete classification of all pentagons admitting i-block transitive tilings for i ≤ 4, among which is a new 15th type of convex pentagon that admits a tile-3-transitive tiling.
Avant cet article, on connaissait 14 sortes distinctes de pentagones convexes qui permettent de paver le plan. […] Nous présenterons les méthodes de cet algorithme et les résultats des recherches par ordinateur menées jusqu’ici, qui comprennent une classification complète de tous les pentagones admettant des pavages i-bloc-transitifs pour i ≤ 4, parmi lesquels un nouveau 15e type de pentagone convexe qui admet un pavage 3-transitif sur les tuiles.
Mann, Casey, McLoud-Mann, Jennifer et Von Derau, David, « Convex Pentagons That Admit i-Block Transitive Tilings », Geometriae Dedicata, vol. 194, 2018, p. 141-167
We present an exhaustive search of all families of convex pentagons which tile the plane. This research shows that there are no more than the already 15 known families. […] The key point is that there are only finitely many, 371, families of angle conditions to consider.
Nous présentons une recherche exhaustive de toutes les familles de pentagones convexes qui pavent le plan. Ce travail montre qu’il n’y en a pas d’autres que les 15 familles déjà connues. […] Le point clé est qu’il n’y a qu’un nombre fini, 371, de familles de conditions sur les angles à examiner.
Rao, Michaël, « Exhaustive Search of Convex Pentagons Which Tile the Plane », prépublication, École normale supérieure de Lyon, 2017
Notes et sources
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Passage l’idée que la géométrie serait née des crues du Nil ne vient pas des Égyptiens. C’est l’explication donnée par un voyageur grec, Hérodote
For this reason Egypt was cut up; and they said that this king distributed the land to all the Egyptians, giving an equal square portion to each man […] and I think that thus the art of geometry was found out and afterwards came into Hellas also.
Traduction de la rédaction C’est pour cette raison que l’Égypte fut découpée ; et ils disaient que ce roi distribua la terre à tous les Égyptiens, donnant à chacun une part carrée égale […] et je pense que c’est ainsi que l’art de la géométrie fut découvert, et qu’il passa ensuite aussi en Grèce.
Source Hérodote, Histoires, livre II, chap. 109, vers 430 av. J.-C., trad. anglaise G. C. Macaulay, The History of Herodotus, Macmillan, 1890, domaine public.
Domaine public ouvrir la source · vérifié le 27 octobre 2026
Passage aucun papyrus, aucune inscription, aucun objet ne montre le triangle trois-quatre-cinq
But there seems to be no evidence that they knew that the triangle (3, 4, 5) is right-angled; indeed, according to the latest authority (T. Eric Peet, The Rhind Mathematical Papyrus, 1923), nothing in Egyptian mathematics suggests that the Egyptians were acquainted with this or any special cases of the Pythagorean theorem.
Traduction de la rédaction Mais il ne semble y avoir aucune preuve qu’ils savaient que le triangle (3, 4, 5) est rectangle ; d’ailleurs, selon l’autorité la plus récente (T. Eric Peet, The Rhind Mathematical Papyrus, 1923), rien dans les mathématiques égyptiennes ne laisse penser que les Égyptiens connaissaient ce cas ou un autre cas particulier du théorème de Pythagore.
Source Heath, Thomas L., The Thirteen Books of Euclid’s Elements, vol. 1, 2ᵉ éd., Cambridge University Press, 1925, commentaire de la proposition I.47, transcription de David R. Wilkins, Trinity College Dublin, domaine public, commentaire de la proposition I.47 (p. 350-368 de l’édition), passage sur les Égyptiens et Cantor, 3ᵉ page de la transcription.
Domaine public ouvrir la source · vérifié le 27 octobre 2026
Passage une conjecture, avancée en 1880 par l’historien des mathématiques allemand Moritz Cantor
Denken wir uns, gegenwärtig allerdings noch ohne jede Begründung, den Aegyptern sei bekannt gewesen, dass die drei Seiten von der Länge 3, 4, 5 zu einem Dreiecke verbunden ein solches mit einem rechten Winkel zwischen den beiden kleineren Seiten bilden, […]
Traduction de la rédaction Supposons, pour le moment il est vrai sans aucune justification, que les Égyptiens aient su que trois côtés de longueur 3, 4 et 5, réunis en triangle, forment un triangle ayant un angle droit entre les deux plus petits côtés, […]
Source Cantor, Moritz, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, vol. 1, Teubner, Leipzig, 1880, vol. 1, chapitre sur la géométrie égyptienne, passage sur les « Harpedonapten » (Seilspanner) ; vue 70 de la numérisation.
Domaine public ouvrir la source · vérifié le 24 octobre 2026
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Passage Une tablette d’argile conservée à New York, couverte de nombres, aligne quinze exemples
The name “Plimpton 322” denotes that it is the 322nd item in Mendelsohn’s catalogue of the cuneiform tablets held by the libraries of the University of Columbia, New York. […] Each of the four remaining columns contains a heading in a mixture of Sumerian and Akkadian and 15 rows of numerical data.
Traduction de la rédaction Le nom « Plimpton 322 » indique qu’il s’agit du 322e élément du catalogue de Mendelsohn des tablettes cunéiformes conservées par les bibliothèques de l’université Columbia, à New York. […] Chacune des quatre colonnes restantes porte un intitulé mêlant sumérien et akkadien et 15 lignes de données numériques.
Source Robson, Eleanor, « Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322 », Historia Mathematica, vol. 28, 2001, p. 167-206, p. 172-173 (présentation de la tablette).
Accès libre ouvrir la source · vérifié le 24 octobre 2026
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Passage On a longtemps voulu voir dans cette tablette une table de trigonométrie […] la notion d’angle telle que nous l’employons n’existait pas à cette époque
I show that the popular view of it as some sort of trigonometric table cannot be correct, given what is now known of the concept of angle in the Old Babylonian period.
Traduction de la rédaction Je montre que l’idée répandue qui en fait une sorte de table trigonométrique ne peut pas être juste, compte tenu de ce qu’on sait aujourd’hui de la notion d’angle à l’époque paléo-babylonienne.
Source Robson, Eleanor, « Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322 », Historia Mathematica, vol. 28, 2001, p. 167-206, résumé.
Accès libre ouvrir la source · vérifié le 9 septembre 2026
Passage Les nombres viennent d’une technique bien attestée par ailleurs — les paires de nombres inverses
I recast it using regular reciprocal pairs, Høyrup's analysis of contemporaneous "naïve geometry," and a new reading of the table's headings.
Traduction de la rédaction Je la reformule à l’aide des paires de réciproques régulières, de l’analyse par Høyrup de la « géométrie naïve » de la même époque, et d’une nouvelle lecture des en-têtes de la table.
Source Robson, Eleanor, « Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322 », Historia Mathematica, vol. 28, 2001, p. 167-206, résumé.
Accès libre ouvrir la source · vérifié le 9 septembre 2026
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Passage Un objet mathématique ancien doit être lu dans le contexte de son époque, et non traité comme une énigme autonome qu’on résoudrait à la manière d’un roman policier.
Ancient mathematical texts and artefacts, if we are to understand them fully, must be viewed in the light of their mathematico-historical context, and not treated as artificial, self-contained creations in the style of detective stories.
Traduction de la rédaction Pour être pleinement compris, les textes et objets mathématiques anciens doivent être vus à la lumière de leur contexte d’histoire des mathématiques, et non traités comme des créations artificielles et closes sur elles-mêmes, à la manière des romans policiers.
Source Robson, Eleanor, « Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322 », Historia Mathematica, vol. 28, 2001, p. 167-206, résumé.
Accès libre ouvrir la source · vérifié le 9 septembre 2026
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Passage En 263 de notre ère, un mathématicien chinois nommé Liu Hui […] établit, un par un, pourquoi les procédés du livre donnent le bon résultat.
His fame rests on the commentary he completed in 263 on Jiuzhang suanshu […]. Liu’s commentary on The Nine Chapters proved the correctness of its algorithms.
Traduction de la rédaction Sa renommée repose sur le commentaire qu’il acheva en 263 sur le Jiuzhang suanshu […]. Le commentaire de Liu sur les Neuf Chapitres démontrait la justesse de leurs algorithmes.
Source Chemla, Karine, « Liu Hui », Encyclopædia Britannica, en ligne, 1er paragraphe du corps de l’article (commençant par « All that is known about the life of Liu Hui »).
Accès libre ouvrir la source · vérifié le 27 octobre 2026
Passage Il calcule la surface d’un cercle en y inscrivant des polygones de plus en plus fins
the area of an inscribed regular 12-gon equals 3 times the radius times one side of an inscribed regular 6-gon […] cut after cut until no more cut is possible, then it coincides with the circle and there is no leftover
Traduction de la rédaction l’aire d’un dodécagone régulier inscrit est égale à 3 fois le rayon multiplié par un côté de l’hexagone régulier inscrit […] découpe après découpe, jusqu’à ce qu’aucune découpe ne soit plus possible, il coïncide alors avec le cercle et il n’y a plus de reste
Source Siu, Man-Keung, « Proof and Pedagogy in Ancient China: Examples from Liu Hui’s Commentary on Jiu Zhang Suan Shu », Educational Studies in Mathematics, vol. 24, 1993, p. 345-357, p. 347-348.
Accès libre ouvrir la source · vérifié le 27 octobre 2026
Passage trouve pour π la valeur 3,141024 (avec un polygone à 96 côtés), qu’il arrondit ensuite à 3,14.
Liu Hui obtained the accurate value 3.14 by taking the ratio of the perimeter of a regular polygon of ninety-six sides […] Hence π = 6.282048/2 = 3.141024, or approximately 3.14.
Traduction de la rédaction Liu Hui obtint la valeur précise 3,14 en prenant le rapport du périmètre d’un polygone régulier à quatre-vingt-seize côtés […] D’où π = 6,282048/2 = 3,141024, soit environ 3,14.
Source Ho Peng-Yoke, « Liu Hui », Dictionary of Scientific Biography, Charles Scribner’s Sons, repris dans le Complete Dictionary of Scientific Biography, 2008 (copie sur MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews), passage sur la valeur de π.
Accès libre ouvrir la source · vérifié le 27 octobre 2026
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Passage Une chercheuse française, Karine Chemla, a défendu cette lecture […] et en a publié avec Guo Shuchun une édition de plus de mille pages.
Paris (Dunod). 2004. ISBN 2-10-007778-3. XVII+1117 pp. […] One thesis she defends is that some commentaries provide “demonstrations” of the correctness of the algorithms given in the text.
Traduction de la rédaction Paris (Dunod). 2004. ISBN 2-10-007778-3. XVII + 1117 p. […] L’une des thèses qu’elle défend est que certains commentaires fournissent des « démonstrations » de la justesse des algorithmes donnés dans le texte.
Source Horiuchi, Annick, compte rendu de Chemla, Karine et Guo, Shuchun, Les Neuf Chapitres : le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires, SCIAMVS, vol. 7, 2006, p. 213-218, p. 213 (en-tête bibliographique) et p. 215.
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Passage En 1944, Edith Müller en a relevé douze parmi les décors de l’Alhambra
The first to investigate it was Edith Müller in her 1944 Ph.D. thesis at the Universität Zürich, written under the guidance of Andreas Speiser.² In her thesis [7] Müller documents the appearance of twelve wallpaper groups among the ornaments of the Alhambra.³
Traduction de la rédaction La première à l’étudier fut Edith Müller, dans sa thèse de doctorat soutenue en 1944 à l’université de Zurich sous la direction d’Andreas Speiser.² Dans sa thèse [7], Müller relève la présence de douze groupes de pavage parmi les ornements de l’Alhambra.³
Source Grünbaum, Branko, « What Symmetry Groups Are Present in the Alhambra? », Notices of the American Mathematical Society, vol. 53, 2006, p. 670-673, copie déposée, p. 2, paragraphe « The question which of the seventeen wallpaper groups… ».
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Passage personne, à l’époque, ne connaissait ces catégories.
Groups of symmetry had no relevance to artists and artisans who decorated the Alhambra. […] Naturally, nobody did, since nobody knew about symmetry groups for the next five centuries.
Traduction de la rédaction Les groupes de symétrie n’avaient aucune importance pour les artistes et les artisans qui ont décoré l’Alhambra. […] Naturellement, personne ne l’a fait, puisque personne ne connaissait les groupes de symétrie pendant les cinq siècles suivants.
Source Grünbaum, Branko, « What Symmetry Groups Are Present in the Alhambra? », Notices of the American Mathematical Society, vol. 53, n° 6, 2006, p. 670-673, p. 673.
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Passage La classification complète des dix-sept groupes date de 1891, elle est due à Evgraf Fedorov.
In 1891, Evgraf Fedorov proved there are precisely 17 plane crystallographic groups: the group of symmetries of any given wallpaper tiling is one of the following in the table:
Traduction de la rédaction En 1891, Evgraf Fedorov a démontré qu’il existe exactement 17 groupes cristallographiques du plan : le groupe de symétries de tout pavage de papier peint est l’un de ceux du tableau suivant :
Source Chavez-Caliz, Ana, « The Palace of Alhambra and the Crystallographic Groups », STRUCTURES Blog, pôle d’excellence STRUCTURES, Université de Heidelberg, 9 janvier 2023, billet de blog, partie sur les groupes cristallographiques du plan ; références : article de Fedorov paru en russe dans les Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society.
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Passage Elle n’a suivi qu’une année de mathématiques au lycée.
But Rice, who took only one year of math in high school, was actually discovering new families of tessellating pentagons
Traduction de la rédaction Mais Rice, qui n’avait suivi qu’une année de mathématiques au lycée, découvrait en réalité de nouvelles familles de pentagones qui pavent le plan
Source Wolchover, Natalie, « Marjorie Rice’s Secret Pentagons », Quanta Magazine, 11 juillet 2017, corps de l’article.
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Passage elle découvre quatre nouveaux types de pentagones que les professionnels avaient manqués
But Rice, who took only one year of math in high school, was actually discovering new families of tessellating pentagons, and never-before-seen patterns, beyond those listed in Gardner's column. […] Using this method, Rice eventually found four new tessellating convex pentagons and nearly 60 different tessellations.
Traduction de la rédaction Mais Rice, qui n’avait suivi qu’une année de mathématiques au lycée, découvrait en réalité de nouvelles familles de pentagones pavant le plan, et des motifs jamais vus, au-delà de ceux qu’énumérait la chronique de Gardner. […] Grâce à cette méthode, Rice finit par trouver quatre nouveaux pentagones convexes pavant le plan et près de 60 pavages différents.
Source Wolchover, Natalie, « Marjorie Rice’s Secret Pentagons », Quanta Magazine, 11 juillet 2017, corps de l’article.
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Passage Le quinzième et dernier type a été trouvé en 2015 par trois chercheurs […] à l’aide d’un ordinateur.
Previous to this article, there were 14 known distinct kinds of convex pentagons that admit tilings of the plane. […] We will present the methods of this algorithm and the results of the computer searches so far, which includes a complete classification of all pentagons admitting i-block transitive tilings for i ≤ 4, among which is a new 15th type of convex pentagon that admits a tile-3-transitive tiling.
Traduction de la rédaction Avant cet article, on connaissait 14 sortes distinctes de pentagones convexes qui permettent de paver le plan. […] Nous présenterons les méthodes de cet algorithme et les résultats des recherches par ordinateur menées jusqu’ici, qui comprennent une classification complète de tous les pentagones admettant des pavages i-bloc-transitifs pour i ≤ 4, parmi lesquels un nouveau 15e type de pentagone convexe qui admet un pavage 3-transitif sur les tuiles.
Source Mann, Casey, McLoud-Mann, Jennifer et Von Derau, David, « Convex Pentagons That Admit i-Block Transitive Tilings », Geometriae Dedicata, vol. 194, 2018, p. 141-167, résumé.
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Passage en 2017, Michaël Rao a fait tourner un programme sur les 371 configurations possibles et démontré qu’il n’y en avait pas d’autre
We present an exhaustive search of all families of convex pentagons which tile the plane. This research shows that there are no more than the already 15 known families. […] The key point is that there are only finitely many, 371, families of angle conditions to consider.
Traduction de la rédaction Nous présentons une recherche exhaustive de toutes les familles de pentagones convexes qui pavent le plan. Ce travail montre qu’il n’y en a pas d’autres que les 15 familles déjà connues. […] Le point clé est qu’il n’y a qu’un nombre fini, 371, de familles de conditions sur les angles à examiner.
Source Rao, Michaël, « Exhaustive Search of Convex Pentagons Which Tile the Plane », prépublication, École normale supérieure de Lyon, 2017, résumé (abstract) ; section 1 (Introduction).
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Références bibliographiques
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- Cantor, Moritz, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, vol. 1, Teubner, Leipzig, 1880, domaine public (l’origine de la conjecture attribuant aux arpenteurs égyptiens le triangle trois-quatre-cinq).
- Chavez-Caliz, Ana, « The Palace of Alhambra and the Crystallographic Groups », STRUCTURES Blog, pôle d’excellence STRUCTURES, Université de Heidelberg, 9 janvier 2023, en accès libre (la démonstration par Evgraf Fedorov, en 1891, qu’il existe exactement dix-sept groupes de symétrie du plan). https://structures.uni-heidelberg.de/blog/posts/2023_01_palace_crystallographic/index.php
- Chemla, Karine et Guo, Shuchun, Les Neuf Chapitres : le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires, Dunod, 2004, en bibliothèque (l’édition critique du texte chinois et du commentaire de Liu Hui).
- Chemla, Karine, « Liu Hui », Encyclopædia Britannica, en ligne, en accès libre (le commentaire achevé en 263 ; la démonstration de la justesse des algorithmes des Neuf Chapitres). https://www.britannica.com/biography/Liu-Hui
- Cooke, Roger L., The History of Mathematics: A Brief Course, Wiley, 2012, en bibliothèque (la corde à nœuds des arpenteurs ; l’absence de preuve matérielle du triangle 3-4-5 en Égypte ancienne et la persistance de la conjecture).
- Grünbaum, Branko, « What Symmetry Groups Are Present in the Alhambra? », Notices of the American Mathematical Society, vol. 53, 2006, p. 670-673, en accès libre (copie déposée à l’Université de Washington : la thèse d’Edith Müller, Zurich, 1944, relève douze groupes de pavage à l’Alhambra ; le chiffre de dix-sept discuté). https://hdl.handle.net/1773/2349
- Grünbaum, Branko, « What Symmetry Groups Are Present in the Alhambra? », Notices of the American Mathematical Society, vol. 53, n° 6, 2006, p. 670-673, en accès libre (le décompte réel des groupes de symétrie et la critique anachronique des « dix-sept »).
- Heath, Thomas L., The Thirteen Books of Euclid’s Elements, vol. 1, 2ᵉ éd., Cambridge University Press, 1925, commentaire de la proposition I.47, transcription de David R. Wilkins, Trinity College Dublin, domaine public (la connaissance égyptienne du triangle 3-4-5, inférée par Cantor, sans aucune preuve dans les mathématiques égyptiennes, d’après T. E. Peet). https://www.maths.tcd.ie/~dwilkins/Euclid/Euclid_HeathCommentaries/EuclidElements_HeathCommentary_ElementsBk1Prop47_DraftTranscription.pdf
- Hérodote, Histoires, livre II, chap. 109, vers 430 av. J.-C., trad. anglaise G. C. Macaulay, The History of Herodotus, Macmillan, 1890, domaine public (le partage des terres rapporté par les prêtres égyptiens, puis l’hypothèse personnelle d’Hérodote : la géométrie née de l’arpentage après les crues). https://lexundria.com/hdt/2.109/mcly
- Ho Peng-Yoke, « Liu Hui », Dictionary of Scientific Biography, Charles Scribner’s Sons, repris dans le Complete Dictionary of Scientific Biography, 2008, copie sur MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, en accès libre (la valeur 3,141024 tirée du polygone à 96 côtés, arrondie à 3,14). https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/DSB/Liu_Hui.pdf
- Horiuchi, Annick, compte rendu de Chemla, Karine et Guo, Shuchun, Les Neuf Chapitres : le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires, SCIAMVS, vol. 7, 2006, p. 213-218, en accès libre (l’édition de XVII + 1117 pages ; la thèse, défendue par Chemla et présentée comme « un point de vue », selon laquelle les commentaires « démontrent » la justesse des algorithmes). https://sciamvs.org/files/SCIAMVS_07_213-218_Review_Horiuchi_On_Chemla_Guo.pdf
- Liu Hui, commentaire aux Neuf Chapitres sur l’art mathématique, 263 de notre ère, domaine public (le calcul de π par polygones emboîtés, la démonstration de la règle de l’hypoténuse).
- Mann, Casey, McLoud-Mann, Jennifer et Von Derau, David, « Convex Pentagons That Admit i-Block Transitive Tilings », Geometriae Dedicata, vol. 194, 2018, p. 141-167, accès payant (le quinzième type, trouvé par ordinateur en 2015).
- Müller, Edith, Gruppentheoretische und Strukturanalytische Untersuchungen der Maurischen Ornamente aus der Alhambra in Granada, thèse, Universität Zürich, 1944, en bibliothèque.
- Rao, Michaël, « Exhaustive Search of Convex Pentagons Which Tile the Plane », prépublication, École normale supérieure de Lyon, 2017, en accès libre (les 371 configurations testées et la clôture du problème).
- Robson, Eleanor, « Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322 », Historia Mathematica, vol. 28, 2001, p. 167-206, en accès libre (l’exigence de lire un objet ancien dans son contexte plutôt que comme une énigme policière ; l’impossibilité d’une table trigonométrique faute d’une notion d’angle à cette époque ; l’interprétation par les paires de nombres inverses). https://ora.ox.ac.uk/objects/uuid:e3d8eedb-e745-45b3-8612-71f8951599aa
- Schattschneider, Doris, « In Praise of Amateurs », dans Klarner, David A. (dir.), The Mathematical Gardner, Wadsworth, 1981, p. 140-166, en bibliothèque ; et « Marjorie Rice and the MAA Tiling », Journal of Mathematics and the Arts, vol. 12, n° 2-3, 2018, p. 114-127, accès payant. https://doi.org/10.1080/17513472.2018.1453740
- Siu, Man-Keung, « Proof and Pedagogy in Ancient China: Examples from Liu Hui’s Commentary on Jiu Zhang Suan Shu », Educational Studies in Mathematics, vol. 24, 1993, p. 345-357, en accès libre sur le site de l’auteur (la surface du cercle approchée par des polygones réguliers inscrits, et l’inégalité de Liu Hui sur leurs aires). https://hkumath.hku.hk/~mks/ProofAndPedagogyInAncientChina.pdf
- Wolchover, Natalie, « Marjorie Rice’s Secret Pentagons », Quanta Magazine, 11 juillet 2017, en accès libre (la découverte de Marjorie Rice et sa très courte formation en mathématiques). https://www.quantamagazine.org/marjorie-rices-secret-pentagons-20170711/
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