énoncé indécidable
Locution nominaleMasculin[e.nɔ̃.se ɛ̃.de.si.dabl]
Étymologie Composé de énoncé, du latin enuntiatum (« ce qui est énoncé, proposition ») et de indécidable, du latin decidere (« décider, trancher ») avec le préfixe privatif in-.
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Logique, Mathématiques Dans une théorie axiomatique formelle, énoncé dont ni la démonstration ni la réfutation ne peuvent être obtenues à partir des axiomes de cette théorie.
- En 1931, le mathématicien autrichien Kurt Gödel a démontré que, dans un cadre axiomatique donné, certains énoncés mathématiques sont indécidables : il est impossible de prouver qu’ils sont vrais ou faux.Sean Bailly, « Où vas-tu petit canard ? », une question indécidable !, Pour la Science, nº 526, p. 6, août 2021.
- Gödel mit fin à ce projet en démontrant que toute théorie mathématique « raisonnablement puissante » admettait nécessairement un énoncé sans preuve ni réfutation. Un tel énoncé est dit indécidable.Jérôme Fortier, Une preuve moderne du théorème d’incomplétude de Gödel, Bulletin AMQ, Université d’Ottawa, vol. LVI, nº 3, octobre 2016.
3 autres exemples
- De tels énoncés sont dits indécidables dans cette théorie. On dit également indépendants de la théorie.Théorèmes d'incomplétude de Gödel, Wikipédia
- Un énoncé indécidable dans une théorie peut parfaitement l’être dans une autre (qui aura, bien entendu, elle aussi ses propres énoncés indécidables).Denis Kuperberg, Le théorème de Gödel : quand les mathématiques rencontrent l'incertitude, ENS Lyon, 2009, p. 5
- L’énoncé : G : « Cette proposition n'est pas démontrable. » est un énoncé indécidable. Si G est démontrable, alors G est faux. Si G n’est pas démontrable, alors G est vrai. On a donc une proposition mathématique qui peut être vraie, mais non démontrable.
- Synonymes
- énoncé indépendant, proposition indécidable
- Antonymes
- énoncé décidable, théorème
- Dérivés
- indécidabilité, indécidable
- Apparentés
- arithmétique de Peano, axiomatisation récursive, axiome, cohérence, complétude, décidabilité, expressif, hypothèse du continu, incomplétude, numérotation de Gödel, programme de Hilbert, système formel, théorie axiomatique, théorie des modèles, tiers exclu
- Hyperonymes
- énoncé, proposition logique
- Hyponymes
- énoncé de Gödel, hypothèse du continu, axiome du choix